PENGERTIAN SUKU BANYAK, NILAI SUKU
BANYAK, DAN OPERASI ANTAR-SUKU BANYAK
Pengertian suku banyak
Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n
secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
anxn
+ an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2
+ a1x + a0
dengan :
·
an, an-1, an-2,
…, a2, a1, a0 adalah
bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0.
an adalah dari x2,
an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah
koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya. a0 disebut
suku tetap (konstanta).
·
n adalah bilangan cacah yang
menyatakan derajat suku banyak.
Derajat
dari suatu suku banyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling
tinggi bagi variabel x yang ada dalam suku banyak itu.
Perhatikan
bahwa suku-suku pada suku banyak diatas dawali oleh suku yang variabelnya
mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti
oleh suku-suku dengan pangkat variabel x yang semakin turun, yaitu an-1xn-1,
an-2xn-2, …., a2x2, a1x
dan di akhiri dengan suku tetap a0. Suku banyak yang disusun atau
ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti aturan pangkat
turun dalam variabel x. Perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak
tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel yang
lain seperti variabel-variabel a, b,c …., s, t, u, …., y, z. Misalnya, suku
banyak (t + 1)2 (t – 2) (t + 3) = t4 + 3t3 –
3t2 – 11t – 6 , merupakan suku banyak dalam variabel t berderajat 4.
Koefisien t4 adalah 1, koefisien t3 adalah 3, koefisien t2
adalah -3, koefisien t adalah -11 dan suku tetapnya adalah -6.
Suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel di sebut suku banyak
univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak dengan variabel lebih dari
satu di sebut suku banyak multivariabel. Misalnya,
Suku banyak x3 + x2y4
– 4x + 3y2 – 10, merupakan suku banyak dalamdua variabel ( variabel
x dan y ). Suku banyak ini berderajat 3 dalam variabel x atau berderajat 4
dalam variabel y.
·
Nilai suku banyak
Dalam bentuk umum dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.
f(x) = anxn +
an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2
+ a1x + a0
~Metode Substitusi
Nilai suku banyak untuk sebuah
nilai variabel tertentu dapat dicari dengan aturan metode substitusi sebagai
berikut.
Nilai suku banyak f(x) = anxn
+ an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2
+ a1x +a0 untuk x = k ( k bilangan real ) di
tentukan oleh
F(x) = an(k)n +
an-1(k)n-1 + an-2(k)n-2+ … + a2(k)2
+ a1(k) + a0
Contoh :
Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x3
+ 3x2 – x + 5 untuk nilai-nilai x berikut.
a). x =
1
b). x = m – 2 (m R)
JAWAB :
a). Untuk x = 1, diperoleh :
f(1)
= (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 – 1 + 5 = 8
Jadi,
nilai f(x) untuk x = 1 adalah f(1) = 8.
b). Untuk x =m -2 ( m R ), diperoleh :
f(m –
2) = (m – 2)3 + 3(m – 2)2 – (m -2) + 5 = m3 –
m2 – 5m + 11
Jadi,
nilai f(x) untuk x = m – 2 (m R) adalah f(m – 2) = m3 – m2
– 5m + 11.
·
OPERASI ANTAR - SUKU BANYAK
A. Penjumlahan,
Pengurangan, dan Perkalian
Penjumlahan
atau pengurangan sukubanyak f(x) dengan sukubanyak g(x) dapat ditentukan dengan
cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yangn sejenis dari kedua
suku banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu.
Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat
distributif perkalian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun
distributif perkalian terhadap pengurangan.
CONTOH :
Diketahui dua buah sukubanyak f(x)
dan g(x) dinyatakan dengan aturan
f(x) = x3 + x2
– 4 dan g(x) = x3 – 2x2 + x + 2
a) Tentukan
f(x) + g(x) serta derajatnya.
b) Tentukan
f(x) – g(x) serta derajatnya.
c) Tentukan
f(x) ∙ g(x) serta derajatnya.
JAWAB :
a). f(x) + g(x) = (x3
+ x2 – 4) + (x3 – 2x2 + x + 2)
↔ f(x) + g(x) = (x3 + x3) + (x2 – 2x2)
+ x + (-4 + 2)
↔ f(x) + g(x) = 2x3 – x2 + x – 2
Jadi, f(x) + g(x) = 2x3 – x2 + x – 2 dan f(x) + g(x)
berderajat 3.
b). f(x) – g(x) = (x3
+ x2 – 4) – (x3 – 2x2 + x + 2)
↔ f(x) – g(x) = (x3 – x3) + (x2 –(-2x2))
– x + (-4 – 2)
↔ f(x) – g(x) = 3x2 – x – 6
c). f(x) ∙ g(x) = (x3 + x2
– 4) (x3 -2x2 + x + 2)
↔
f(x) ∙ g(x) = x3 (x3 – 2x2 + x + 2) + x2
(x3 – 2x2 + x + 2) – 4(x3 – 2x2 + x
+ 2)
↔f(x)
∙ g(x) = x6 – 2x5 + x4 + 2x3 + x5
– 2x4 + x3 +2x2 – 4x3 + 8x2
– 4x -8
↔f(x)
∙ g(x) = x6 + (-2x5 + x5) + (x4 –
2x4) + (2x3 + x3 – 4x3) + (2x2
+ 8x2) – 4x - 8
↔f(x)
∙ g(x) = x6 – x5 – x4 – x3 + 10x2
– 4x - 8
Jadi,
f(x) ∙ g(x) = x6 – x5 – x4 – x3 +
10x2 – 4x – 8 dan f(x) ∙ g(x) berderajat 6.
B. Kesamaan
Suku Banyak
Suku
banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x), jika kedua
suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk variabel x bilangan real.
Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) itu di tulis sebagai
f(x) ≡ g(x)
≡ dibaca “kesamaan”.
CONTOH :
Tentukan nilai a pada kesamaan x2
– 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) + 3a.
JAWAB :
Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + 2 + 3a
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + (2 + 3a)
Dengan menggunakan sifat kesamaan
suku banyak, di peroleh :
14 = 2 +3a
↔ a =
4
Jadi, nilai a pada kesamaan x2
– 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) + 3a adalah 4.
·
PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Hubungan antara yang Dibagi,
Pembagi, Hasil bagi, dan Sisa Pembagian
Sebagai ilustrasi, misalnya bilangan
4.369 dibagi dengan 14 dapat diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti
di perlihatkan pada bagan di bawah. Dari bagan ini terlihat bahwa 4.369 dibagi
dengan 14 memberikan hasil bagi 312 dengan sisa pembgian 1.
4.369
= 14
x
312 +
1
↑
↑
↑
↑
Yang
dibagi
Pembagi hasil
bagi sisa pembagian
Dengan demikian, dapat dirumuskan
secara umum sebagai berikut.
Yang
dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
CONTOH :
a). Dengan menggunakan metode
bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) =
x3 + 2x2 + 3x – 5 oleh (x – 2) !
JAWAB : x2 + 4x +
11
hasil bagi x – 2
x3 + 2x2 + 3x – 5
yang dibagi x3 – 2x2
4x2 + 3
4x2 – 8x
11x - 5
11x - 22
17
Pembagian Suku banyak dengan Pembagi Berbentuk Linear
Cara yang akan digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk
linear di kenal sebagai Metode Horner. Ada 2 macam pembagi berbentuk
linear yang akan dibicarakan disini, yaitu pembagi berbentuk (x – k) dan (ax +
b).
Pembagian Suku banyak dengan (x – k)
Persamaan yang menghubungkan suku banyak yang dibagi f(x) dengan suku banyak
pembagi (x – k), suku banyak hasil bagi H(x), dan sisa pembagian S adalah
f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S
Menentukan hasil bagi H(x) dan sisa
pembagian S pada pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) dengan menggunakan
bantuan bagan atau skema dikenal sebagai metode pembagian sintetik atau metode
horner.
CONTOH :
Tentukan hasil bagi dan sisa
pembagian suku banyak f(x) = x4 + x3 – 2x2 + x
+ 2 dengan x + 2.
JAWAB :
f(x) = x4 + x3
– 2x2 + x + 2, maka a4 = 1, a3 = 1, a2
= -2, a1 = 1, dan a0 = 2. Pembagian x + 2 berarti k = -2
Bagan atau skemanya diperhatikan
dibawah ini.
-2
1
1
-2
1
2
+
+
+
+
-2
2
0
-2
1
-1
0
1
0
Berdasarkan bagan diatas, diperoleh
hasil bagi H(x) = x3 – x2 + 1 dan sisa S = 0.
Jadi, pembagian f(x) = f(x) = x4
+ x3 – 2x2 + x + 2 oleh x + 2 memberikan hasil bagi H(x)
= x3 – x2 + 1 dan sisa pembagian S = 0.
Pembagian Suku banyak dengan (ax +
b)
Misalkan k adalah bilangan rasional
yang ditentukan oleh k = - , sehingga bentuk x – k menjadi x – (- ) = x +
. Jika suku banyak f(x) dibagi dengan x + memberikan hasilnya H(x) dan
sisa pembagian S, maka diperolah hubungan.
f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S
Berdasarkan persamaan tersebut
terlihat bahwa hasil bagi H(x) dan sisa S dapat di tentukan dengan metode
pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k harus diganti dengan
- .
f(x) = (x
+ ) ∙ H(x) + S
f(x) =
(ax + b) ∙ H(x) + S
f(x)
= (ax + b) ∙ + S
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa
suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan
sisa pembagian S. Koefisien-koefisien dari H(x) dan sisa S dapat ditentukan
dengan metode pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k harus
diganti dengan k = .
CONTOH :
Tentukan hasil bagi dan sisa
pembagian suku banyak f(x) = 3x3 + x2 + x + 2 dengan (3x
– 2).
JAWAB :
f(x) = 3x3 + x2
+ x + 2, maka a3 = 3, a2 = 1, a1 = 1, dan a0
= 2
Bentuk (3x – 2) dapat ditulis
menjadi 3(x - ), berarti a = 3, dan k = . Bagan atau skemanya diperlihatkan
dibawah ini.
3
1
1 2
+
+ +
2 2
2
3
3
3 4
Berdasarkan bagan diatas, diperoleh
hasil bagi = x2 + x + 1 dan sisa S = 4.
Jadi, pembagian suku banyak f(x) = =
3x3 + x2 + x + 2 dengan (3x – 2) memberikan hasil bagi x2
+ x + 1 dengan sisa pembagian S = 4.
Pembagian Suku banyak Dengan Pembagi
Berbentuk Kuadrat
Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx
+ c (a ≠ 0 dan bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan atau yang tidak
dapat difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak itu
dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek yang
pernah dipelajar sebelumnya.
CONTOH :
Tentukan hasil bagi dan sisa
pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2 +
x – 6 dengan x2 – x – 2.
JAWAB
:
x2 – 2x -
5
hasil bagi
x2
– x – 2
x4
– 3x3 – 5x2 + x – 6
x4 – x3
– 2x2
-2x3 – 3x2 + x
Pembagi
-2x3 + 2x2 + 4x
-5x2 – 3x – 6
-5x2 + 5x + 10
-8x - 16
Sisa Pembagian
Berdasarkan bagan tersebut, suku
banyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 dapat di
tuliskan sebagai :
x4
– 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)(x2
– 2x – 5)+(-8 – 16)
yang di bagi pembagi hasil bagi sisa pembagian.
Jadi, pembagian suku banyak f(x) = x4
– 3x3 – 5x2 + x – 6 dengan x2 – x – 2
memberikan hasil bagi x2 – 2x – 5 dengan sisa pembagian -8x – 16.
TEOREMA SISA
Misalkan suku banyak f(x) dibagi
dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S(x). Persamaan
yang menyatakan hubungan antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah:
f(x)
= P(x) ∙ H(x) + S(x)
ket.
·
f(x) sebagai suku banyak yang
dibagi, misalnya diketahui berderajat n.
·
P(x) sebagai suku banyak pembagi,
misalnya diketahui berderajat m dan m ≤ n.
·
H(x) sebagai suku banyak hasil bagi,
berderajat (n-m) yaitu derajat suku banyak yang di bagi dikurangi dengan
derajat suku banyak pembagi.
·
S(x) sebagai suku banyak sisa
pembagian, berderajat paling tinggi atau maksimum (m – 1) yaitu berderajat
maksimum satu kurangnya dari derajat suku bayak pembagi.
Pembagi Berbentuk (x – k)
Jika suku banyak pembagi P(x) = (x – k), maka persamaan sebelumnya dapat
ditulis menjadi
f(x)
= (x – k) ∙ H(x) + S
Persamaan ini berlaku untuk semua
bilangan real x.
Karena suku banyak pembagi P(x) = (x
– k) berderajat satu, maka sisa pembagian S maksimum berderajat nol,
yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x. Sisa pembagian S di tentukan dengan
menggunakan teorema berikut.
Teorema 1
Jika suku banyak f(x) berderajat n
dibagi dengan (x – k) maka sisanya di tentukan oleh
S
= f(k)
Teorema tersebut dikenal sebagai teorema
sisa atau Dalil sisa
Bukti Teorema 1
Perhatikan kembali persamaan, f(x) =
(x – k) ∙ H(x) + S.
Karena persamaan itu berlaku untuk
semua bilangan real x, maka dengan menyulihkan atau substitusi x = k kedalam
persamaan itu, diperoleh :
f(k) = (k – k) ∙ H(k) + S = 0 ∙ H(k)
+ S = 0 + S
S = f(k)
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian
S = f(k).
CONTOH :
Tentukan sisa pembagian suku banyak
f(x) = x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi
dengan
JAWAB :
Suku banyak f(x) = x4 –
6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi dengan x – 2,
sisanya adalah S = f(2). Nilai f(2) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu :
1. Metode
Substitusi
f(2) = (2)4 – 6(2)3
– 6(2)2 + 8(2) + 6
f(2) = 16 – 48 – 24 + 16 + 6 = -34.
, sisa pembagiannya adalah S = f(2)
= -34.
2. Metode
Bagan / Skema
f(x) = x4 – 6x3
– 6x2 + 8x + 6, maka a4 = 1, a3 = -6, a2
= -6, a1 = 8, dan a0 = 6
Pembaginya x – 2, berarti k = 2,
sehingga bagan atau skemanya diperlihatkan sebagai berikut ini.
2
1
-6
-6
8
6
+
+
+
+
2
-8
-28
-40
1
-4
-14
-20
-34 = f(2)
Dari bagan diatas diperoleh f(2) =
-34.
Jadi, sisa pembagian S = f(2) = -34.
Pembagi Berbentuk (ax + b)
Dalam pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa pembagian suku banyak f(x)
dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S. Pernyataan
ini dituliskan dalam persamaan berikut.
f(x)
= (ax + b) ∙ + S
Persamaan diatas berlaku untuk semua
bilangan real x.
Teorema 2
Jika suku banyak f(x) berderajat n
dibagi dengan (ax + b) maka sisanya ditentukan oleh
S
= f(-
)
Bukti Teorema 2
Perhatikan
kembali persamaan : f(x) = (ax + b) ∙ + S
Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan
real x, maka dengan substitusi x = ke persamaan itu diperoleh:
f(- = {a (- ) + b} ∙ { } + S = {- b + b} ∙ { }
+ S
↔ f( - ) = 0 ∙ { } + S = 0 + S
↔ S = f( - )
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian
S = f( - ).
CONTOH :
Tentukan sisa pembagian suku banyak
f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4 dengan 2x + 1.
JAWAB :
Suku banyak f(x) = 2x3 +
9x2 – 6x + 4 dibagi dengan 2x + 1, sisanya adalah S = f(- ). Nilai
f(- ) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu :
1. Metode
Substitusi
f(- ) = 2 (- )3 + 9(- )2
– 6(- ) + 4
f(- ) = - + + 3 + 4 = 9
Jadi, sisa pembagiaannya adalah S =
f(- ) = 9
2. Metode
bagan / skema
f(x) = 2x3 + 9x2
– 6x + 4, maka a3 = 2, a2 = 9, a1 = - 6, a0
= 4
Bentuk (2x + 1) dapat ditulis
menjadi 2(x + ), berarti a = 2 dan k = - .
Bagan atau skemanya diperlihatkan
berikut ini.
-
2
9
-6 4
+ +
+
-1 -4
5
2
8
-10 9 = f(- )
Dari bagan diatas diperoleh f( -
) = 9.
Jadi, sisa pembagiannya adalah S =
f( - )= 9.
Dari bagan diatas sekaligus juga
ditemukan koefisien-koefisien dari H(x), sehingga H(x) = 2x2 + 8x –
10 dan hasil baginya adalah
= 2x2
+ 8x - 10 : 2 = x2 + 4x – 5.
TEOREMA FAKTOR
Pengertian Faktor dan Teorema faktor
Teorema 3
Misalkan f(x) adalah sebuah suku
banyak, (x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
Teorema tersebut dikenal sebagai
teorema faktor. Dalam teorema faktor memuat kata hubung jika dan hanya
jika, Sehingga teorema faktor adalah sebuah teorema faktor itu dapat
dibaca sebagai berikut.
1. Jika
(x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan
2. Jika
f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x).
Bukti
Teorema 3
1. Misalkan
(x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagai
f(x) = (x – k) ∙ H(x)
dengan H(x) adalah suku banyak hasil
bagi dengan bentuk tertentu.
Substitusi nilai x = kedalam
persamaan f(x) = (x – k) ∙ H(x), sehingga diperoleh :
f(k) = (k – k) ∙ H(k)
↔ f(k) = 0 ∙ H(k)
↔ f(k) = 0
Jadi, jika (x – k) adalah faktor
dari f(x) maka f(k) = 0.
2. Misalkan
f(x) dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k). Dengan
menggunakn teorema 1, pernyataan ini dapat ditulis sebagai
f(x) = (x – k) ∙ H(x) + f(k)
untuk f(k) = 0, persamaan diatas
berubah menjadi
f(x) = (x – k) ∙ H(x)
Hubungan ini menunjukkan bahwa (x –
k) adalah faktor dari f(x).
Berdasarkan uraian 1 dan 2 terbukti
bahwa :
(x – k) adalah faktor dari f(x) jika
dan hanya jika f(k) = 0.
CONTOH :
Tunjukkan bahwa (x + 2) adalah
faktor dari suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + 4x2
+ 8x +
8.
JAWAB :
Untuk menunjukkan bahwa (x + 2)
adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x
+ 8, cukup ditunjukkan bahwa nilai f(- 2) = 0
f(-2) = (- 2)4 + 3 (- 2)3
+ 4 (- 2)2 + 8 (- 2) + 8 = 16 – 24 + 16 – 16 + 8 = 0
karena f(- 2) = 0, maka (x + 2)
adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x
+ 8.
Menentukan Faktor-Faktor Suatu Suku
Banyak
Langkah 1
Jika (x – k) adalah faktor dari suku
banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 +
… + a2x2 + a1x + a0 maka
nilai-nilai k yang mungkin adalah nilai faktor-faktor bulat dari a0.
Langkah 2
Dengan cara coba-coba, substitusikan
nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0. Jika demikian maka (x – k) adalah
faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari
f(x).
Langkah 3
Setelah dipeeroleh sebuah faktor (x
– k), faktor-faktor yang lain dapat ditentukan dari suku banyak hasil bagi f(x)
oleh (x – k).
CONTOH :
Carilah faktor-faktor dari suku
banyak f(x) = x3 – 13x + 12, kemudian tuliskan suku banyak itu dalam
bentuk perkalian dari faktor-faktornya.
JAWAB :
f(x) = x3 – 13x + 12,
maka suku tetapan a0 = 12
Nilai-nilai k yang mungkin adalah
faktor bulat dari a0 = 12, yaitu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 dan ±12
Subtitusikan nilai-nilai x = k,
sehingga diperoleh f(k). Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari
f(x), tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari f(x).
·
Untuk nilai k = -1, diperoleh :
f(- 1) = (- 1)3 – 13(- 1)
+ 12 = -1 + 13 + 12 = 24 ≠ 0
(x + 1) bukan faktor
dari f(x).
·
Untuk nilai k = 1, diperoleh :
f(- 1) = (1)3 – 13(1) +
12 = 1 – 13 + 12 = 0
(x – 1) adalah faktor dari f(x).
Hasil bagi f(x) = x3 –
13x + 12 oleh (x – 1) ditentukan dengan metode pembagian sintetik.
1
1
0
-13 12
+ +
+
1
1 -12
1
1
-12 0
Dari bagan tersebut terlihat bahwa
hasil baginya adalah x2 + x – 12 dan bentuk ini dapat di faktorkan
menjadi (x – 3)(x + 4).
Jadi, faktor – faktor linear, dari
f(x) = x3 – 13x – 12 dan bentuk ini dapat difaktorkan menjadi (x –
3)(x + 4).
Jadi, faktor – faktor linear dari
f(x) = x3 – 13x + 12 adalah (x – 1)(x – 3)(x + 4)
~ Akar-Akar Rasional dari Persamaan
Suku Banyak
Misalkan f(x) adalah suku banyak, (x
– k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) =
0 jika dan hanya jika k adalahakar persamaan f(x) = 0. Dengan menggunakan
kaidah silogisme pada dua pernyataan tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut.
Misalkan f(x) adalah sebuah suku
banyak. (x – k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari
f(x) = 0. k disebut akar atau nilai nol dari persamaan
suku banyak f(x) = 0
CONTOH :
Tunjukkan bahwa salah satu akar
persamaan suku banyak x3 – 7x – 6 = 0 adalah 3. Kemudian tentukan
akar- akar yang lain.
JAWAB :
·
Misalkan f(x) = x3 – 7x –
6. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar dari f(x) = 0, cukup dperlihatkan
bahwa f(3) = 0
Karena f(3) = 0, maka 3 adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x –
6 = 0
·
Untuk menentukan akar-akar yang
lain, dicari terlebih dahulu hasil bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x
– 3. Hasil bagi itu ditentukan dengan metode pembagian sintetik sebagai berikut
3
1
0
-7 -6
+
+ +
3
9 6
1
3
2 0
Hasil baginya adalah H(x) = x2
+ 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).
Jadi, akar-akar yang lainnya adalah
x = -1 dan x = -2.
Teorema Akar-Akar Rasional
Misalkan f(x) = anxn
+ an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x
+ a0 adalah sebuah persamaan suku banyak dengan
koefisien-koefisien bulat. Jika adalah akar rasional dari f(x) = 0, maka
c adalah faktor bulat positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari
an.
Langkah 1
Mula-mula ditentukan akar-akar yang
mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu , c adalah faktor bulat
positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari an.
Langkah 2
Dari himpunan akar-akar yang mungkin
yang diperoleh dari langkah 1, akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi syarat
f( ) = 0.
CONTOH :
Tentukan akar-akar persamaan suku
banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0
JAWAB :
f(x) = (x) = x3 –
6x2 + 9x – 2 = 0, a3 = 1 dan a0 =-2
Akar-akar yang mungkin adalah -2,
-1, 1 dan 2.
Menguji nilai-nilai akar yang
mungkin.
·
f(-2) = (-2)3 – 6(-2)2
+ 9(-2) – 2 = -52 ≠ 0, maka -2 bukan akar f(x) = 0
·
f(-1) = (-1)3 – 6(-1)2
+ 9(-1) – 2 = -18 ≠ 0, maka -1 bukan akar f(x) = 0
·
f(1) = (1)3 – 6(1)2
+ 9(1) – 2 = 2 ≠ 0, maka 1 bukan akar f(x) =0
·
f(2) = (2)3 – 6(2)2
+ 9(2) – 2 = 0, maka 2 adalah akar dari f(x) = 0
Menentukan akar-akar irasional
Karena 2 adalah akar dari f(x) = 0,
maka f(x) dapat dituliskan menjadi
f(x) = x3 – 6x2
+ 9x – 2 = 0 = (x – 2) x2 – 4x + 1 = 0
bentuk kuadrat ini merupakan hasil
bagi
x3 – 6x2
+ 9x – 2 dengan x – 2
akar-akar irasionalnya ditentukan
dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 = 0.
Dengan menggunakan rumus kuadrat
diperoleh x = 2 - √3 atau x = 2 + √3.
Jadi, persamaan suku banyak f(x) = x3
– 6x2 + 9x – 2 = 0 mempunyai akar
Rasional 2 dan akarirasional 2
- √3 atau 2 + √3, ditulis himpunan penyelesaiannya
HP = { 2, 2 - √3, 2 + √3 }.
Diposkan 2nd December 2012 oleh fita marciana monik
Label: Suku banyak
Tidak ada komentar:
Posting Komentar